题目

已知函数f(x)=log4(4x+1)-(k-1)x(x∈R)为偶函数.
已知函数f（x）=log4（4x+1）-（k-1）x（x∈R）为偶函数．
（1）求常数k的值；
（2）当x取何值时函数f（x）的值最小?并求出f（x）的最小值；
（3）设 g(x)=log4(a•2的x此方-4/3a)（a≠0）,且函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围
只要第三问只要第三问只要第三问只要第三问

提问时间：2021-02-28

答案

(1)k=3/2
(3) f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x]
g(x)=log4(a · 2^x-4/3a)
联立 log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a · 2^x-4/3a)
∴ (4^x+1)/2^x=a·2^x-4/3a
不妨设t=2^x t＞0
t^2+1/t=at-4/3a
t^2+1=at^2-4/3at
(a-1)t^2-4/3at-1=0
设u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1
∵两函数图像只有1个公共点,在这里就变成了有且只有一个正根
1.当a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍)
2.当△=0时 a=3/4 或a=-3
a=3/4时 t= -1/2＜0 （舍）
a=-3时 t=1/2满足
3.当一正根一负根时
(a-1) × u(0)＜0 (根据根的分布)
∴a＞1
综上所述,得a=-3或a＞1
不懂欢迎追问.