题目

圆面积公式推导
谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具体一点,要能看得懂,能理解.吾甚惑之,
好像有点看得懂。我定积分没学好，弄不清楚，能否给个图，给个方程。积分变量最好不要换来换去ok?

提问时间：2021-02-28

答案

用单位圆说明（r=1）
在第一象限中：
∫(1-x^2)^(1/2)*dx
=∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2)
=∫cost*cost*dt
=0.25*∫[1+cos(2t)]*d(2t)
=0.25*∫du+0.25*∫cosu*du(u从0到π)
=0.25π+0.25*(sinπ-sin0)
=0.25π
∴在四个象限中：
S=4*0.25π=π