题目

如何用等价代换证明((p∨q)→r)←→s如何证明是永假式、永真式还是可满足式?

提问时间：2021-02-24

答案

列一个真值表：
p q r s 式子
1 0 0 0
……
共2^4=16项,如果都是0,为永假,都是1则永真,有0有1为可满足
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奥,什么时候补充的,没有看到,不好意思.
求出析取范式和合取范式
((p∨q)→r)←→s
(((p∨q)→r)→s)∧(s→((p∨q)→r))
(¬((p∨q)→r)∨s)∧(¬s∨((p∨q)→r))
(¬(¬(p∨q)∨r)∨s)∧(¬s∨(¬(p∨q)∨r))
(¬((¬p∧¬q)∨r)∨s)∧(¬s∨((¬p∧¬q)∨r))
(¬((¬p∨r)∧(¬q∨r))∨s)∧(¬s∨((¬p∨r)∧(¬q∨r)))
((¬(¬p∨r)∨¬(¬q∨r))∨s)∧(¬s∨((¬p∨r)∧(¬q∨r)))
(((p∧¬r)∨(q∧¬r))∨s)∧(r∨¬s∨(¬p∧¬q)∨(¬p∧r)∨(¬q∧r))
(p∧¬r∧¬s)∨(q∧¬r∧¬s)∨(r∧s)∨(¬p∧¬q∧s)∨(¬p∧r∧s)∨(¬q∧r∧s) （析取范式）
(p∨q∨s)∧(p∨¬r∨s)∧(q∨¬r∨s)∧(¬r∨s)∧(¬p∨¬q∨r∨¬s)∧(¬p∨r∨¬s)∧(¬q∨r∨¬s) （合取范式）
一个命题是永真式当且仅当它的析取范式包含一个命题符号及其否定式
一个命题是永假式当且仅当它的合取范式包含一个命题符号及其否定式
在题目的情况下,原命题为可满足式
若令r=¬p,那么析取范式化为：
(p∧¬s)∨(p∧q∧¬s)∨(¬p∧s)∨(¬p∧¬q∧s)
再令s=¬p,化为：p∨(p∧q)∨¬p∨(¬p∧¬q)
此时,析取范式包含p和¬p,即为永真式.