题目

1.∫e∧(-t∧2)dt 2) (v+1)/(1-v) 3) (1-v)/(1+v^2

提问时间：2021-02-18

答案

（1）如果是不定积分,积不出来.
如果是(-∞,+∞)上定积分,结果是 √π（泊松积分）
济大学高等数学书中有（下册二重积分极坐标部分）
设u=∫(-∞,+∞) e^(-t^2)dt
两边平方：下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用极坐标
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限
= π
这样u^2=π,因此u = √π
2) ∫(v+1)/(1-v)dv
= - ∫[ 1 + 2/(v-1)]dv
= - ∫dv - ∫2/(v-1)d（v-1）
= -v - 2ln(v-1) + c
3) ∫(1-v)/(1+v²)dv
= ∫1/(1+v²)dv - ∫v/(1+v²)dv
= arctanv - (1/2)∫1/(1+v²)dv²
= arctanv - (1/2)∫1/(1+v²)d（1+v²）
= arctanv - (1/2)ln（1+v²） + c
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