题目

已知实数a、b满足|a+2|+|1-a|=9-|b-5|-|1+b|，设a+b的最大值为m，最小值为n，则m+n的值为______．

提问时间：2021-02-14

答案

原式化为：|a+2|+|a-1|+|b+1|+|b-5|=9，
a分三种情况讨论：a≤-2，-2＜a＜1，a≥1
当a≤-2时，|a+2|+|a-1|=-2a-1；
当-2＜a＜1时，|a+2|+|a-1|=3；
当a≥1时，|a+2|+|a-1|=2a+1；
b也是分三种情况：b≤-1，-1＜b＜5，b≥5
|b+1|+|b-5|=-2b+4或 6 或2b-4，
分情况讨论，一共9种情况，
①当a≤-2，b≤-1时，-2a-1-2b+4=9，
∴a+b=-3；
②当a≤-2，-1＜b＜5时，-2a-1+6=9，
∴a=-2，
∴a+b最大值小于3，最小值大于-3；
③当a≤-2，b≥5时，-2a-1+2b-4=9，
∴a-b=-7，
∴a+b最大值为3；
④当-2＜a＜1，b≤-1时，3-2b+4=9，
∴b=-1，
∴a+b最大值小于0，最小值大于-3；
⑤当-2＜a＜1，-1＜b＜5时，3+6=9，
∴a+b最大值小于6，最小值大于-3；
⑥当-2＜a＜1，b≥5时，3+2b-4=9，
∴b=5，
∴a+b最大值为6，最小值大于3；
⑦当a≥1，b≤-1时，2a+1-2b+4=9，
∴a-b=2，
∴a+b最大值小于0，最小值大于-2；
⑧当a≥1，b≤-1时，2a+1+6=9，
∴a=

3

2

，
∴a+b最大值

1

2

，没有最小值；
⑨当a≥1，b≤-1时，2a+1+2b-4=9，
∴a+b=6；
最后得出a+b最大可取6，最小为-3，因此m+n=3．
故答案为：3．