已知抛物线y=x2+2px+2p-2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小． - 超级试练试题库

题目

已知抛物线y=x²+2px+2p-2的顶点为M，
（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．

提问时间：2021-02-10

答案

（1）∵△=4p²-8p+8=4（p-1）²+4＞0，
∴抛物线与x轴必有两个不同交点．
（2）设A（x₁，0），B（x₂，0），
则|AB|²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4p²-8p+8=4（p-1）²+4，
∴|AB|=2

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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