题目

为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在2050年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开绳，升降机能到达地球上，人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上．已知地球表面的重力加速g=10m/s²，地球半径R=6400km．某人在地球表面用弹簧测力计称得重800N，站在升降机中．当升降机以加速度a=g（g为地球表面处的重力加速度）垂直地面上升，这时此人再一次用同一弹簧测力计称得视重为850N，忽略地球公转的影响，
（1）求升降机此时距地面的高度；
（2）如果把绳的一端搁置在同步卫星上，绳的长度至少为多长？

提问时间：2021-02-09

答案

（1）由题意可知人的质量　m=80kg
根据牛顿第二定律得：
对人：850-mg′=mg  
根据万有引力等于重力得
mg′=

GmM

(R+h)2

，

GmM

R2

=mg
解得：g′=(

R

R+h

)2g
即h=3R=1.92×10⁷m
（2）同步卫星围绕行星做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力列出等式：

GmM

r2

=m

4π2r

T2

，r=R+h′
T为地球自转周期，结合GM=gR²．
得h′=3.6×10⁷m
答：（1）升降机此时距地面的高度是1.92×10⁷m；
（2）如果把绳的一端搁置在同步卫星上，绳的长度至少为3.6×10⁷m