题目

已知以正整数a为二次项系数的整数系数二次三项式f(x),若f(x）=0有两个不相等且小于1的正实数根,求证a>4

提问时间：2021-01-27

答案

f(x)=ax^2+bx+c,a∈N,b、c∈Z
f(x）=0有两个不相等且小于1的正实数根,则有
f(0)=c>0
f(1)=a+b+c>0
0<-b/(2a)<1
△=b^2-4ac>0
得：
a≥1,c≥1 ①
a+b+c>0 ②
2a+b>0 ③
b≤-1 ④
b^2>4ac ⑤
若c≥a≥1,②和③可合并为③,也即此时有
b>-2a及b^2>4ac.
则4ac故必有0由于cb>-(a+c)及b^2>4ac.
也即4ac<(-b)^2<(a+c)^2
考虑到a、-b、c均为正整数,故必有
4ac+1≤(-b)^2≤(a+c-1)^2
也即：4ac+1≤(a+c-1)^2
化简得
c^2-2(a+1)c+a(a-2)≥0
于是得
c≥{2(a+1)+√[4(a+1)^2-4a(a-2)]}/2=a+1+√(4a+1) >a,与c或者1≤c≤a+1-√(4a+1) ,于是有
1≤a+1-√(4a+1) ,也即a≥√(4a+1) ,得
a^2-4a-1≥0,得
a≥2+√5（a≤2-√5<0不合题意,舍去）
故a≥5,也即a>4