题目

归纳猜想证明
通过计算可得下列等式：
2^2-1^2=2*1+1,3^2-2^2=2*2+1,4^2-3^2=2*3+1……（n+1）^2-n^2=2n+1.将以上各式分别相加得：（n+1）^2-1^2=2*(1+2+……+n)+n,即1+2+……+n=【n(n+1)】/2.
试类比上述求法,求出1^2+2^2+……+n^2的值

提问时间：2021-01-25

答案

类推如下：
2^3-1^3=2^2+2*1+1^2
3^3-2^3=3^2+3*2+2^2
4^3-3^3=4^2+4*3+3^2
.
n^3-(n-1)^3=n^2+n*(n-1)+(n-1)^2
以上各式累加可得：
2[1^2+2^2+...+n^2]=n^3+n^2-[1*2+2*3+3*4+...+n*(n-1)]
其中：1*2+2*3+3*4+...+n*(n-1)= 2*【n*(n^2-1)/6】.①
所以：1^2+2^2+……+n^2=n*(2n+1)*(n+1)/6;
你应该学了排列组合吧,事实上,n*(n-1)/2=Cn取2,（就是n个数里面任取2个的取法那个）,而课本上有个公式：【Cn取k】+【Cn取（k+1）】=【c(n+1)取（k+1）】,而①你化简以后就是：【C(n+1)取3】啦,最后调整一下结构就是结果了.
再说一下：我为什没会想到那样分解呢?因为有一个立方公式是：a^3-b^3=(a-b)*(a*2+a*b+b*2),而上面式子里面：a-b=n-(n-1)=1,所以没体现出来.而且这个平方和公式有用,要记住!
最后祝你学习愉快,高考成功!