题目

已知三棱锥A-BCD,平面α满足条件 到A,B,C.D的距离相等,记满足平面α的个数为p
平面α将三棱锥A-BCD分成两部分体积之比为m/n（m,n∈N*,m/n为既约分数）
p+m+n的所有可能取值为__
写出具体的步骤,附上图更好.

提问时间：2021-01-22

答案

过点A作AO垂直平面BCD于O,取AO中点M,则过M且与AO垂直的平面α
到A,B,C,D的距离相等.这样的平面α有4个.
当平面α过棱AB,AC,DB,DC的中点时,与四个顶点的距离相等,这样的平面有3个.
综上p=7.
对于第一种情况,截面三角形与底面平行,面积的比等于对应高的比的平方=1/4,
所以截得三棱锥体积是原三棱锥体积的1/8,所以m/n=1/7.
对于第二种情况,截得两部分体积相等,所以m/n=1.
综上p+m+n的所有可能取值是15,9.