题目

求所有定义在实数集上的函数f(x)使得f(x)*f(y)=f(x+y)+xy
像这样给恒等式求解析式的题怎么做啊

提问时间：2021-03-13

答案

象这样类型通过恒等式求解析式的题,可以按下面步骤作.
（1）先尝试求出一些特殊点的函数值.
如本题,先求出f（0)的值,令x=y=0代入恒等式,化简得f(0)^2=f(0),即f(0)[f(0)-1]=0,所以f(0)=1或f(0)=0.
若f(0)=0,那么再令y=0,代入恒等式得f(x)*f(0)=f(x),因为f(0)=0,所以f(x)=0,此时函数的解析式f(x)=0
那么f(0)=1时函数解析式是怎样的呢?请看步骤2
（2）f(0)=1,我们先通过代入不同的x、y,找出和f(x)相关的如f(-x)等表达式(这一步要注意,不同题目给的条件不同,需要找出的表达式不尽相同,要灵活对待,这里以本题为例)
令y=-x代入恒等式,得到f(x)*f(-x)=f(0)-x^2=1-x^2 （a）
令y=x代入恒等式,得[f(x)]^2=f(2x)+x^2 （b）
用2x代x,y=-x代入恒等式,得到f(2x)*f(-x)=f(x)-2x^2 （c）
接下来进行步骤三.
(3)对步骤2找出的关系式,用f(x)来统一表示,求出f(x)的表达式.
由（a）式得到f(-x)=（1-x^2）/f(x),由b式得到f(2x)=[f(x)]^2-x^2,全部代入c式化简得到x^2*[f(x)]^2-2x^2f(x)+x^2(1-x^2)=0,因式分解得x^2[f(x)-(1+x)]{f(x)-(1-x)]=0,因为式子对所有x都要成立,所以[f(x)-(1+x)][f(x)-(1-x)]=0,解得f(x)=1+x或f(x)=1-x
综上,本题函数解析式为f(x)=0或f(x)=1+x或f(x)=1-x