题目

已知，四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
分析：要证四边形ABCD是等腰梯形，因为AB=DC，所以只要证四边形ABCD是梯形即可；又因为AD≠BC，故只需证AD∥BC即可；要证AD∥BC，现有图所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明．

提问时间：2021-01-21

答案

此处选择证A、D两种情况．
A）证明：过点A作AE∥DC，交BC边于点E，
∵AB=DC，AC=BD，BC=BC，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ABC=∠DCB．
∵AE∥DC，
∴∠DCB=∠AEB．
∴∠AEB=∠ABC．
∴AE=AB=DC．
∴四边形ADCE为平行四边形．
∴AD∥EC即AD∥BC．
∵AD≠BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
D）证明：过点D作DG∥AC，交BC延长线于点G，
∵AB=DC，AC=BD，BC=BC，
在△ABC和△DCB中，

AB＝DC AC＝BD BC＝BC

，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ACB=∠DBC．
∵DG∥AC，
∴∠ACB=∠DGC．
∴∠DBC=∠DGC．
∴DG=DB=AC．
∴四边形ADGC为平行四边形．
∴AD∥GC即AD∥BC．
∵AD≠BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是等腰梯形．

此处选择证A、D两种情况，A）过点A作AE∥DC，交BC边于点E，根据已知可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，从而得到∠ABC=∠DCB，根据平行线的性质可得到∠DCB=∠AEB，从而推出AE=AB=DC，根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ADCE为平行四边形，从而推出AD∥EC即AD∥BC，又因为AD≠BC，AB=DC，所以四边形ABCD是等腰梯形．
D）同理可证明得四边形ABCD是等腰梯形．

本题考点：等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及等腰梯形的判定的理解及掌握情况．