题目

椭圆面积如何计算

提问时间：2021-01-17

答案

　　椭圆面积公式S= 圆周率*ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）
　　椭圆面积公式S=圆周率 ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中学数学教材中,仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过,直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等数学方法作两种推导,供读者参考.
　　定理1.若夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于两条平行直线的任一直线所截,如果截得的两条线段长的比例总相等,那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比 .
　　注：此定理相当于祖暅原理的推论,故证明从略.
　　方法一：设椭圆C的方程为 （a>b>0）,辅助圆C 的方程为x2+y2=b2,且一直线L：y = m（ ）与两曲线相交,交点分别为M（x1 ,m）、 N（x2 ,m）及P（x3 ,m）、Q(x ,m),如图1.
　　由 解得 x = ,
　　此时,= ；
　　由 解得x =± ,（图1）
　　此时,=2 .
　　、当 ,即b=|m|时,交点为（0,b）或（0,-b）；
　　、当 ,即b≠|m|时,有 .
　　显然 是一种特殊情况,即直线L与两曲线C、C 交于一点,此时与求椭圆C的面积无影响,故可忽略；在情况 下,即椭圆C的弦长|MN|与圆C 的弦长|PQ|比恒为定值 时,则当设椭圆C与圆C 的面积分别为S、S 时,由定理1得 = ,又圆C 的面积S =πb ,故有 S = S = πb =πab .
　　所以椭圆C的面积公式为 S =πab （其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.