题目

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c同时满足以下条件 ①f(3/2+x)=f(3/2-x) ②f(x)的图像经过
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c同时满足以下条件
①f(3/2+x)=f(3/2-x)
②f(x)的图像经过（1,0）
③对任意实数x,f(x)≥(1-2a)/4a恒成立
求函数f(x)的表达式
还有一道已知函数f(x)=ax2+(b-1)x+c,且不等式f(x)＞-x的解集为（-3,2）
若函数y=f(x)+x在[m,m2-m-3]上y随x的增大而减小,求m的取值范围

提问时间：2021-01-15

答案

条件①说明：
二次函数的对称轴是直线
x=3/2
【这个结论我不想再证了,你分别把3/2+x和3/2-x分别代入就能证明】
故有：-b/2a=3/2
得：b=-3a
②条件说明：
f(1)=0
即：a+b+c=0
将①的结论代入②的式子,有：
c=2a
③条件实际上是告诉你,这个二次函数有最小值,a>0
二次函数最大或最小值是在对称轴处求得的,
所以,当
x=3/2时,
f(x)≥(1-2a)/4a的等号成立
即f(3/2)=9a/4+3b/2+c
把①②的结论代入,有：
f(3/2)=9a/4-9a/2+2a=-a/4=(1-2a)/4a
解这个方程,得：
a=1
所以,这个函数的解析式为
y=x平方-3x+2
第二个题：
不等式f(x)＞-x
可化为：
ax2+(b-1)x+c＞-x
即ax2+bx+c＞0
解集为（-3,2）
【注意,这里要用到解一元二次不等式的【逆向思维】】
所以,-3和2是一元二次方程
ax2+bx+c=0
的两个实数根,且有a