题目

直线y=ex+b（e为自然对数的底数）与两个函数f（x）=e^x，g（x）=lnx的图象至多有一个公共点，则实数b的取值范围是 ______．

提问时间：2021-01-14

答案

当y=ex+b与函数f（x）=e^x有一个公共点时，转化为ex+b=e^x只有一个根，令F（x）=e^x-（ex+b），则其导函数为F^/（x）=e^x-e，所以F^/（x）＞0时x＞1，F^/（x）＜0时x＜1，则F（x）在x=1时取极小值F（1）=-b，所以当y=ex+b与函数f（x）=e^x有一个公共点时须-b=0，即b=0．当y=ex+b与函数f（x）无公共点时须-b＞0，即b＜0．
同理可得y=ex+b与g（x）=lnx有一个公共点时，b=-2，当y=ex+b与函数g（x）=lnx无公共点时，b＞-2．
故与f（x）=e^x的图象有一个公共点，且与g（x）=lnx的图象没有公共点成立时b=0，
与g（x）=lnx的图象有一个公共点与f（x）=e^x的图象没有公共点成立时b=-2，
与两个函数的图象都没有公共点成立时-2＜b＜0，
综上可知[-2，0]
故答案为：[-2，0]