题目

△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B＜

π

2

提问时间：2021-01-13

答案

证明：方法一：已知

1

a

+

1

c

＝

2

b

．
得b＝

2ac

a+c

，
a2+c2−b2＝a2+c2−(

2ac

a+c

)2≥2ac−

4a2c2

(a+c)2

=2ac(1−

2ac

(a+c)2

)≥2ac(1−

2ac

4ac

)＞0．
即cosB=

a2+c2−b2

2ac

＞0
故B＜

π

2

法2：反证法：假设B≥

π

2

．
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

可得

2

b

＜

1

a

+

1

c

与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．