题目

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=-13，a_n+2-2a_n+1+a_n=2n-6
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求n为何值时，a_n最小（不需要求a_n的最小值）

提问时间：2021-01-10

答案

（I）∵b_n=a_n+1-a_n，∴a_n+2-2a_n+1+a_n=b_n+1-b_n=2n-6

∴bn−bn−1＝2(n−1)−6，bn−1−bn−2＝2(n−2)−6，…，b2−b1＝2−6

将这n-1个等式相加，得

bn−b1＝2＝2[1+2+…+(n−1)]−6(n−1)

∴bn＝n2−7n−8
即数列{b_n}的通项公式为bn＝n2−7n−8
（Ⅱ）若a_n最小，则a_n≤a_n-1且a_n≤a_n+1，即b_n-1≤0且b_n≥0
∴

n2−7n−8≥0 (n−1)2−7(n−1)−8≤0

注意n是正整数，解得8≤n≤9
∴当n=8或n=9时，a_n的值相等并最小

（I）利用数列递推式及b_n=a_n+1-a_n，写出n-1个等式相加，即可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n最小，则a_n≤a_n-1且a_n≤a_n+1，即b_n-1≤0且b_n≥0，由此可得结论．

本题考点：数列递推式；数列的函数特性．

考点点评：本题考查数列递推式，考查叠加法的运用，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．