题目

矩阵p范数和谱半径的关系
有一个矩阵,如下：
0.5000 -0.2500 -0.5000 -0.5000
-0.2500 0.5000 -0.5000 -0.5000
-0.5000 -0.2500 0.5000 -0.5000
-0.2500 -0.5000 -0.5000 0.5000
求特征值为：
-0.7500
0.7500
1.0000
1.0000
所以谱半径为
1.0000
我们知道谱半径是任意矩阵范数的下界,但我求了一下,
1范数为 2.0000,
2范数为 1.0607,
无穷范数为 1.7500,
F范数为 1.8028,
但是,如果求P范数就不对了,
按P范数定义,||A||p = (sigma(|aij|)^p)^(1/p),只要p足够大,P范数就会小于1,这是为什么呢?
那这种定义不是范数吗？我在wiki上看到的是叫做元范数。

提问时间：2021-01-07

答案

你的p-范数定义错了,矩阵的p-范数是向量p-范数的诱导范数,即
║A║p = max{║Ax║p:║x║p=1}= max{║Ax║p/║x║p:x≠0}.
如果你想做数值例子的话,我可以告诉你,实际计算的时候p-范数是很难算的,通常需要用搜索的办法来求解这个最优化问题,我记得Nick Higham有一个MATLAB程序可以算.
补充：
你用的定义相当于是向量范数,作为矩阵范数不是相容范数,所以和谱半径没有必然联系.