题目

设长方体内接于半径为a的球,问何时长方体的体积最大,并求其体积

提问时间：2021-01-04

答案

这是一个3天后的“零回答”题：
设长方体 内接于半径为a的球,问何时长方体的体积最大?并求其体积.
长方体内接于一个球,可以证明：对棱角线必然经过球心!
因为长方体对面全等,任何两个相对面在其外接球上截取的球冠都是全等的.
故 球的球心和其内接长方体的中心必然重合.
设长方体的长宽高分别为x,y,z,则
长方体体积V=xyz,
√[x^2+y^2+z^2]=2a,
x^2+y^2+z^2=4a^2,
z=√[4a^2-x^2-y^2],
V=xyz=xy√[4a^2-x^2-y^2],
先证明：在长方形内,当对角线固定等于b,长方形面积最大的时候是长等于其宽,即对角线一定的正方形的面积最大.
√[x^2+y^2]=b,y=√[b^2-x^2],
S=xy=x√[b^2-x^2],
dS/dx=√[b^2-x^2]+x{0.5*[b^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}=
=√[b^2-x^2]-x^2/√[b^2-x^2]=
=[b^2-2x^2]/√[b^2-x^2],
dS/dx=0时,S才有可能有极值,进而才可能有极大值,
[b^2-2x^2]/√[b^2-x^2]=0,
长方形的一个边长不可能等于对角线长,即x^2≠b^2,
2x^2=b^2,x=√2b/2,
因为这是实际问题,面积极值也是极大值、最大值,
也就是在长方形对角线长固定时,正方形的面积最大.
运用到这个球内接长方体问题中,长方体底面最大时是长和宽相等时,
V=xyz=xy√[4a^2-x^2-y^2]=x^2√[4a^2-2x^2]=√2x^2√[2a^2-x^2],
dV/dx=2√2x√[2a^2-x^2]+√2x^2{0.5[2a^2-x^2]^(-1/2)(-2x)=
=2√2x√[2a^2-x^2]-√2x^3/√[2a^2-x^2]=
={2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2],
dV/dx=0,V才可能有极值,进而才可能有极大值、最大值,
{2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2]=0,
2a^2-x^2 不可能等于0,
2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3=0,
x≠0,
2[2a^2-x^2]-x^2=0,
4a^2-3x^2=0,
x^2=4a^2/3,
x=2√3a/3,
这是个实际问题,x不可能为0,V只能有极大值,不可能取极小值,
【也可以求V对x的二阶导数,当二阶导数小于0时,V具有极大值：
d^2V/dx^2=d{2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3}/√[2a^2-x^2]/dx=
=d{[2√2x[2a^2-x^2]-√2x^3]/√[2a^2-x^2]}/dx=
=d{[4√2a^2x-3√2x^3]/√[2a^2-x^2]}/dx=
={[4√2a^2-9√2x^2]√[2a^2-x^2]-[4√2a^2x-3√2x^3]*0.5[2a^2-x^2]^(-1/2)(-2x)}/√[2a^2-x^2]=
=[4√2a^2-9√2x^2]+[4√2a^2x-3√2x^3]x/[2a^2-x^2],
V要具有极大值,d^2V/dx^2