题目

已知函数f（x）=|x+1|+ax（a∈R）．若函数f（x）在 R 上具有单调性，则a的取值范围为______．

提问时间：2021-01-02

答案

原函数式化简得：f（x）=

(a+1)x+1，x≥−1 (a−1)x−1，x＜−1

．
①a＞1时，
当x≥-1时，f（x）=（a+1）x+1是增函数，且f（x）≥f（-1）=-a；
当x＜-1时，f（x）=（a-1）x-1是增函数，且f（x）＜f（-1）=-a．
所以，当a＞1时，函数f（x）在R上是增函数．
同理可知，当a＜-1时，函数f（x）在R上是减函数．（6分）
②a=1或-1时，易知，不合题意．
③-1＜a＜1时，取x=0，得f（0）=1，取x=

2

a−1

，由

2

a−1

＜-1，知f（

2

a−1

）=1，
所以f（0）=f（

2

a−1

）．
所以函数f（x）在R上不具有单调性．（10分）
综上可知，若函数f（x）在 R 上具有单调性，则a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．（12分）
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

先化简f（x）=

(a+1)x+1，x≥−1 (a−1)x−1，x＜−1

，再分类讨论：①a＞1时或a＜-1时，②a=1或-1时，③-1＜a＜1时，最后研究函数f（x）在R上的单调性即可．

本题考点：函数单调性的性质．

考点点评：本题考查函数的单调性及单调区间，以及利用函数的单调性求参数的取值范围．属于中档题．考查了分类讨论的思想及判断推理的能力