题目

对于每一对实数x,y,函数满足f(x+y)-f(x)-f(y)=1+xy,且f(1)=0,那么满足f(n)=n(n≠1)的正整数n的个数有几个?
有如下解法,请解释一下（或者有其它方法,麻烦说一下）：
f(n+1)-f(n)=n+1
f(n)-f(0)=n(n+1)÷2
f(n)=n(n+1)÷2-1=n
(n+1)(n-2)=0
∴n=-1(舍去)或n=2

提问时间：2021-01-23

答案

我把省略的步骤都补上了
f(n+1)-f(n)-f(1)=1+1*n f(1)=0
f(n+1)-f(n)=n+1
f(n)-f(n-1)=n
f(n-1)-f(n-1)=n-1
..
..
f(2)-f(1)=2
f(1)-f(0)=1 f(1)=0 所以f(0)=-1
累加上面的n+1个式子得
f(n)-f(0)=n(n+1)÷2
f(0)=-1
所以f(n)-f(0)=n(n+1)÷2-1=n
(n+1)(n-2)=0
∴n=-1(舍去)或n=2