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题目
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

(1)求证:AD=AE;
(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.

提问时间:2020-12-30

答案
(1)证明:连接AC,
∵AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC,
∵AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC,
∴∠ACD=∠ACB,
∵AD⊥DC,AE⊥BC,
∴∠D=∠AEC=90°,
∵AC=AC,
∠D=∠AEC
∠DCA=∠ACB
AC=AC

∴△ADC≌△AEC,(AAS)
∴AD=AE;
(2)由(1)知:AD=AE,DC=EC,
设AB=x,则BE=x-4,AE=8,
在Rt△ABE中∠AEB=90°,
由勾股定理得:82+(x-4)2=x2
解得:x=10,
∴AB=10.
说明:依据此评分标准,其它方法如:过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分.
(1)连接AC,证明△ADC与△AEC全等即可;
(2)设AB=x,然后用x表示出BE,利用勾股定理得到有关x的方程,解得即可.

直角梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理.

本题考查梯形,矩形、直角三角形的相关知识.解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线,把梯形分割为矩形和直角三角形,从而由矩形和直角三角形的性质来求解.

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