题目
1.已知定义在R上的函数F(X)对于任意的X,Y∈R,都有F(X+Y)+F(X-Y)=2F(X)F(Y),且F(0)≠0.若存在常数C,使得
F(C/2)=0,求证:对于X∈R,有F(X+C)=- F(X).
2.函数F(X)=(AX+B)/(X^2+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,F(1/2)=2/5.解不等式F(T-1)+F(T)
F(C/2)=0,求证:对于X∈R,有F(X+C)=- F(X).
2.函数F(X)=(AX+B)/(X^2+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,F(1/2)=2/5.解不等式F(T-1)+F(T)
提问时间:2020-09-28
答案
1.
y=c/2时
f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)
因f(c/2)=0
所以f(x+c/2)=-f(x-c/2)
令x-c/2=t可得x=t+c/2,代入上式
f(t+c)=-f(t),
即f(x+c)=-f(x).
2.
f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是奇函数f(-x)=-f(x),所以b=0
f(1/2)=2/5,代入则a=1.
下面先证明函数f(x)=x/(1+x^2) 在(-1,1)上为增函数
设1>x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
x1-x2>0,1+x1^2>0,1+x2^2>0,
-10所以函数在(-1,1)上为增函数.
函数定义域是(-1,1)
所以-1
y=c/2时
f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)
因f(c/2)=0
所以f(x+c/2)=-f(x-c/2)
令x-c/2=t可得x=t+c/2,代入上式
f(t+c)=-f(t),
即f(x+c)=-f(x).
2.
f(x)=(ax+b)/(1+x^2)是奇函数f(-x)=-f(x),所以b=0
f(1/2)=2/5,代入则a=1.
下面先证明函数f(x)=x/(1+x^2) 在(-1,1)上为增函数
设1>x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
x1-x2>0,1+x1^2>0,1+x2^2>0,
-10所以函数在(-1,1)上为增函数.
函数定义域是(-1,1)
所以-1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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