题目

方程(X+Y)/X*X-X*Y+Y*Y等于3/7的所有正整数解

提问时间：2020-12-28

答案

根据题意,存在正整数t,使得x+y=3t,x^2-xy+y^2=7t
3xy=(x+y)^2-(x^2-xy+y^2)=9t^2-7t
而由(x-y)^2>=0知道(x+y)^2>=4xy.所以
9t^2>=(4/3)(9t^2-7t)=12t^2-28t/3
导出t<=28/9.
但是t是正整数,所以t=1、2、3
从3xy=(x+y)^2-(x^2-xy+y^2)=9t^2-7t看出3能整除7t,所以3必能整除t
于是只有t=3可能符合要求
当t=3时,解出(x,y)=(4,5)或(5,4)
这就是所有解