题目

已知a是正整数,如果关于x的方程x^3+（a+17）x^2+（38--a）x--56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根

提问时间：2020-12-27

答案

设方程x^3+（a+17）x^2+（38--a）x--56=（x+m）(x+n)(x+p)=x^3+(m+n+p)x^2+
(mn+mp+np)x+mnp（其中m、n、p都是整数）,
两边对比系数得：m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,mnp=-56
因为-56=-1*2*28=-1*4*14=-1*7*8=-2*2*14=-2*4*7=-1*（-2）*（-28）=-1*（-4）*（-14）=
-1*（-7）*（-8）=-2*（-2）*（-14）=-2*（-4）*（-7）且mnp=-56
所以可以令：
1.m=-1,n=2,p=28,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,解得a=12
所以方程的整数跟为1,-2,-28
2.m=-1,n=4,p=14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,解得a=0
所以方程的整数跟为1,-4,-14
3.m=-1,n=7,p=8,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,解得a=-3
所以方程的整数跟为1,-7,-8
4.m=-2,n=2,p=14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,此时a无解
5.m=-2,n=4,p=7,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,此时a无解
6.m=-1,n=-2,p=-28,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,此时a无解
7.m=-1,n=-4,p=-14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,解得a=-36
所以方程的整数跟为1,4,14
8.m=-1,n=-7,p=-8,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,解得a=-33
所以方程的整数跟为1,7,8
9.m=-2,n=-2,p=-14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,此时a无解
10.m=-2,n=-4,p=-7,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,此时a无解