题目
如图,在直角坐标系中,O是原点,A,B,C三点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形OABC是梯形,点P,Q同时从原点出发,分别作匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC,CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.
(1)求直线OC的解析式.
(2)设从出发起,运动了t秒.如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围.
(3)设从出发起,运动了t秒.当P,Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分?如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由.
(1)求直线OC的解析式.
(2)设从出发起,运动了t秒.如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围.
(3)设从出发起,运动了t秒.当P,Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分?如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由.
提问时间:2020-12-23
答案
(1)∵O,C两点的坐标分别为O(0,0),C(8,6),设OC的解析式为y=kx+b,
将两点坐标代入得:k=
,b=0.
∴y=
x.
(2)当Q在OC上运动时,可设Q(m,
m),依题意有:m2+(
m)2=(2t)2,解得m=
t.
则Q(
t,
t)(0≤t≤5).
当Q在CB上运动时,Q点所走过的路程为2t.
∵OC=10,
∴CQ=2t-10.
∴Q点的横坐标为2t-10+8=2t-2.
∴Q(2t-2,6)(5≤t≤10).
(3)∵梯形OABC的周长为44,当Q点在OC上运动时,P运动的路程为t,则Q运动的路程为(22-t).
△OPQ中,OP边上的高为:(22−t)×
.
∴S△OPQ=
t(22−t)×
,S梯形OABC=
(18+10)×6=84.
依题意有:
t(22−t)×
=84×
.
整理得:t2-22t+140=0.
∵△=222-4×140<0,
∴这样的t不存在.
当Q在BC上运动时,Q走过的路程为(22-t),
∴CQ的长为:22-t-10=12-t.
∴S梯形OCQP=
×6(22−t−10+t)=36≠84×
.
∴这样的t值也不存在.
综上所述,不存在这样的t值,使得P,Q两点同时平分梯形的周长和面积.
将两点坐标代入得:k=
3 |
4 |
∴y=
3 |
4 |
(2)当Q在OC上运动时,可设Q(m,
3 |
4 |
3 |
4 |
8 |
5 |
则Q(
8 |
5 |
6 |
5 |
当Q在CB上运动时,Q点所走过的路程为2t.
∵OC=10,
∴CQ=2t-10.
∴Q点的横坐标为2t-10+8=2t-2.
∴Q(2t-2,6)(5≤t≤10).
(3)∵梯形OABC的周长为44,当Q点在OC上运动时,P运动的路程为t,则Q运动的路程为(22-t).
△OPQ中,OP边上的高为:(22−t)×
3 |
5 |
∴S△OPQ=
1 |
2 |
3 |
5 |
1 |
2 |
依题意有:
1 |
2 |
3 |
5 |
1 |
2 |
整理得:t2-22t+140=0.
∵△=222-4×140<0,
∴这样的t不存在.
当Q在BC上运动时,Q走过的路程为(22-t),
∴CQ的长为:22-t-10=12-t.
∴S梯形OCQP=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴这样的t值也不存在.
综上所述,不存在这样的t值,使得P,Q两点同时平分梯形的周长和面积.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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