题目

1,证明f(x)(a,-a)的积分=f(-x)(a,-a)的积分 2,∫√(1-x)/x√(1+x)*dx

提问时间：2020-12-16

答案

设x = - t,dx = - dt
∫(- a→a) ƒ(x) dx
= ∫(a→- a) ƒ(- t)(- dt)
= ∫(- a→a) ƒ(- x) dx
∫ √(1 - x)/[x√(1 + x)] dx
= ∫ 1/x • √(1 - x)/√(1 + x) • √(1 - x)/√(1 - x) dx
= ∫ 1/x • (1 - x)/√(1 - x²) dx
= ∫ 1/x • [1/√(1 - x²) - x/√(1 - x²)] dx
= ∫ 1/[x√(1 - x²)] dx - ∫ dx/√(1 - x²)
= ∫ 1/[x²√(1/x² - 1)] dx - arcsin(x)
= - ∫ 1/√(1/x² - 1) d(1/x) - arcsin(x)
= - ln|1/x + √(1/x² - 1)| - arcsin(x) + C
= - ln|[1 + √(1 - x²)]/x| - arcsin(x) + C
= ln|x/[1 + √(1 - x²)]| - arcsin(x) + C