题目

已知△ABC为等腰直角三角形,角BAC=90度,E,F是BC边上的点,且角EAF=45度,求证:BE的平方+CF的平方=EF的平方

提问时间：2020-12-04

答案

以题意做图见上,
证明：
把△ACF绕A点旋转90°,使AC和AB重合,设点F旋转到点G；
 
则有：△ABG ≌ △ACF ,
 
可得：AG = AF ,BG = CF ,∠GAB = ∠CAF ,
 
∠ABG = ∠ACF = 45° ,
 
则有：∠EAG = ∠EAB+∠GAB 
 
= ∠EAB+∠CAF 
 
= 90°-∠EAF = 45° = ∠EAF ；
 
∵在△EAG和△EAF中,AG = AF ,∠EAG = ∠EAF ,AE为公共边,
 
∴△EAG ≌ △EAF ,
 
∴EG = EF
 
∵∠EBG = ∠ABC+∠ABG = 90° ,
 
∴△EBG是直角三角形,
 
根据勾股定理有BE²+BG² = EG² ,
 
即有：BE²+CF² =EF² .