题目

若直线y=k(x+1)与曲线y=根号(2x-x＾2) 有公共点,这实数k的取值范围是多少
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提问时间：2020-12-03

答案

若直线y=k(x+1)与曲线y=sqrt(2x-x＾2)有公共点,则如下等式有实数解:
k(x+1)=sqrt(2x-x＾2)
化简得到:
(k^2+1)x^2+(2k^2-2)x+k^2=0
由2x-x＾2>=0可得0=0.
易知:f(0)=k^2,f(2)=9k^2
(1) 当k=0,满足要求；
(2) 当k>0,我们有f(0)>0并且f(2)>0.另外,我们观察到二次函数f(x)开口向上并且方程f(x)=0的两根同号,所以要使方程在[0,2]上有根,下面两个条件必须满足:
(i) delta = -12k^2+4 >= 0 (二次方程有解条件)
(ii) 0 < -(2k^2-2)/(2k^2+2) < 2 (对称轴在(0,2)区间)
由(i)、(ii)解得0< k