题目

已知抛物线的顶点在原点,焦点F在正半轴上,过点P(2,2),过F的直线交抛物线于A(x1,x2)B（x2,y2）两点.
（1）求抛物线的方程
（2）设直线l是抛物线的准线,求证：以AB为直径的圆与准线l相切

提问时间：2020-11-26

答案

1、设抛物线方程为：y^2=2px,
2^2=2p*2,
p=1,
∴y^2=2x.
2、从A和B分别作准线的垂线AM,BN,垂足M、N,
取AB中点Q,作QH⊥准线 l,H为垂足,
根据抛物线定义,
|AM|=|AF|,
|BN|=|BF|,
|AM|+|BN|=|AB|,
QH是梯形AMNB的中位线,
|QH|=（|AM|+|BN|）/2|AB|/2,
若以|AB|为直径作圆,
则|HQ|是其半径,
无论AB位置如何变换,|QH|始终为|AB|/2,
且QH⊥准线l,
∴以AB为直径的圆与准线l相切.