题目
如图:D为等边△ABC内一点,DA=DB,BP=BC,∠BPD=30°.求证:BD平分∠PBC.
提问时间:2021-02-08
答案
证明:如图,连接DC、PC.
∵DA=DB,
∴∠DAB=∠DBA,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°,AC=BC,
∴∠1=∠4.
∴在△ACD与△BCD中,
,
∴△ACD≌△BCD(SAS),
∴∠2=∠3=30°,
∴∠P=∠3=30°.
∵BP=BC,
∴∠BPC=∠BCP,
∴∠DPC=∠DCP,
∴PD=DC.
∴在△BDC与△BDP中,
,
∴△BDC≌△BDP(SSS),
∴∠4=∠5,即BD平分∠PBC.
∵DA=DB,
∴∠DAB=∠DBA,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°,AC=BC,
∴∠1=∠4.
∴在△ACD与△BCD中,
|
∴△ACD≌△BCD(SAS),
∴∠2=∠3=30°,
∴∠P=∠3=30°.
∵BP=BC,
∴∠BPC=∠BCP,
∴∠DPC=∠DCP,
∴PD=DC.
∴在△BDC与△BDP中,
|
∴△BDC≌△BDP(SSS),
∴∠4=∠5,即BD平分∠PBC.
如图,连接DC、PC.先证明△ACD≌△BCD,则∠2=∠3=30°,∠ADC=∠BDC;然后利用全等三角形的判定定理SSS证得△BDC≌△BDP,所以它们的对应角相等.
全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.
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