题目

已知

a

＝(−

3

sinωx，cosωx)，

b

＝(cosωx，cosωx)(ω＞0)，令函数f(x)＝

a

•

b

，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调区间．

提问时间：2020-11-23

答案

（1）f（x）=−

3

sinωxcosωx+cos2ωx=-

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=-sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

．
∵ω＞0，∴T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1．
（2）由（1）可知f（x）=-sin（2x-

π

6

）+

1

2

．
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z函数是减函数．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得kπ+

2π

3

≤x≤kπ+

5π

3

，k∈Z函数是增函数．
所以函数的单调减区间为[kπ-

π

3

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
函数的单调增区间为[kπ+

2π

3

，kπ+

5π

3

]，k∈Z．

（1）可利用向量的坐标运算公式结合正弦与余弦的二倍角公式化简函数的表达式，由最小正周期为π即可求得ω的值；
（2）直接利用正弦函数的单调增区间于函数的单调减区间，即可求f（x）的单调区间．

本题考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．

考点点评：本题考查平面向量数量积的运算，正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，着重考查正弦函数的图象与性质的综合应用，属于中档题．