题目

四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝

2

，AB=AC．
（I）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明：FG∥面ABC；
（II）证明：AD⊥CE．

提问时间：2020-11-21

答案

（I）证明：取AB中点H，连接GH，CH
因为G是AE中点，所以HG∥=

1

2

BE，又因为矩形BCDE，所以BE∥=CD，且F是CD中点，
所以HG∥=CF，所以四边形FGHC是平行四边形，所以FG∥CH，
又因为FG⊄平面ABC，CH⊂平面ABC，所以FG∥面ABC；
（II）取BC中点Q，连接AQ，DQ
因为AC=AB，所以AQ⊥BC，
因为侧面ABC⊥底面BCDE，AQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCDE=BC，
所以AQ⊥平面BCDE，
因为CE⊂平面BCD，所以CE⊥AQ
又在矩形BCDE中，BC＝2，CD＝

2

，BE=

2

，CQ=1，所以

BC

CD

＝

BE

CQ

＝

2

所以Rt△CDQ∽Rt△BCE，所以∠DQC=∠CEB，
所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°，所以CE⊥DQ
因为AQ∩DQ=Q，且AQ，DQ⊂平面ADQ，所以CE⊥平面ADQ，
AD⊂平面ADQ，所以AD⊥CE

（I）取AB中点H，连接GH，CH，根据G是AE中点，根据中位线的性质可知HG∥=

1

2

BE，利用矩形BCDE可知BE∥=CD，同时F是CD中点，
进而可以推断出HG∥=CF，四个边两两平行，进而可推断出四边形FGHC是平行四边形，进而可知FG∥CH，最后利用线面平行定理推断出FG∥面ABC；
（II）取BC中点Q，连接AQ，DQ根据AC=AB，判断出AQ⊥BC，进而根据线面垂直的判定定理推断出AQ⊥平面BCDE，进而可知CE⊥AQ，根据，BC＝2，CD＝

2

，求得BE和CQ，得出

BC

CD

＝

BE

CQ

判断出Rt△CDQ∽Rt△BCE，进而可推断出∠DQC=∠CEB，可知∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°，推断出CE⊥BQ利用AQ∩BQ=Q，推断出CE⊥平面ADQ，进而根据线面垂直的性质可知AD⊥CE．

本题考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质．

考点点评：本题主要考查了直线与平面的平行和垂直的判定，解题的关键是灵活运用线面平行和线面垂直判定定理．