题目

已知AC,BD为园O:X^2+Y^2=4的两条互相垂直的玄,AC,BD交于点M(1,根号2）则四边形ABCD面积最大为? 求过程~
谢啦~

提问时间：2020-11-20

答案

解法1：

    想象一下：如果两条互相垂直的弦并不分别与两条互相垂直的坐标轴平行,我们可以将坐标轴旋转适当的角度,使得其中一条弦平行于x轴,另一条弦平行于y轴.

而这两条弦的交点的轨迹是x²+y²=3；

不妨设这个交点为（√3Cosθ,√3Sinθ）(θ∈[0,2π))

      平行于x轴的弦的长度为a=2√(2²-(√3Cosθ)²)

同理：平行于y轴的弦的长度为b=2√(2²-(√3Sinθ)²)     

      ab=4√(4-3Cos²θ)(4-3Sin²θ)

        =4√(16-12(Sin²θ+Cos²θ)+9Sin²θCos²θ)

        =4√(4+9/4(2SinθCosθ)²)

        =4√(4+9/4Sin²2θ)

        ≤4√(4+9/4*1)(当θ=π/4,3π/4,5π/4,7π/4时等号成立)

        =10

四边形ABCD的面积S=1/2(AM*MB+BM*MC+CM*MD+DM*MA)

                 =1/2(AM+MC)(BM*MD)

                 =1/2*AC*BD

                 =1/2ab

                 =5

解法2：

不用解析法的方法来求解,如图：

AC丄BD于M,OE丄AC于E,OF丄BD于F

AC=2√(4-OE^2)

BD=2√(4-OF^2)

四边形ABCD最大值即为AC*BD/2

而OE^2+OF^2

=OM^2

=(1^2+(√2)^2)

=3

所以AC*BD

=2√((1+OE^2)(4-OE^2))

=2√(-(OE^2-1.5)^2+6.25)<=2√6.25

=5

解法3：

就是求两弦乘积最大

设原点到两弦距离分别为D,d,

则D²＋d²=3,

面积=1/2×2√4－D²×2√4－d²

=2√(4-D²)(4-d²)

<=4-D²＋4-d²

=8-(D²＋d²)

=5

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