题目
已知等腰三角形ABC,∠C=90°,AC=1,在三角形内求做一点P,使P到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小,求最小
提问时间:2020-11-18
答案
令AB的中点为D,以AC为边长向△ABC外作正△ACE,连BE交CD于P.P就是所要作的点.
证明如下:
在PE上取一点F,使CP=CF.
∵△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,∴AC=BC,又AC=CE,∴BC=CE,
∴∠CBE=∠CEP.
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+60°=150°,∠CBE=(180°-∠BCE)/2=15°,
∵AD=BD,AC=BC,∴∠BCP=∠ACB/2=45°.
∴∠CPF=∠BCP+∠CBE=45°+15°=60°.而CE=CP,∴△CPF是正三角形,
∴PC=PF=FC,∠CFP=60°.
由∠CAE=60°,∠CPF=60°,∴∠CAE=∠CPF,∴A、E、C、P共圆,
∴∠APF=∠ACE=60°,∠CEF=∠CAP.
由∠CPF=60°,∠APF=60°,得:∠APC=120°.显然,∠EFC=180°-∠CFP=120°.
∴∠EFC=∠APC,结合作出的EC=AC,证得的∠CEF=∠CAP,得:△ECF≌△ACP,
∴EF=PA.
由EF=PA,PF=PC,得:PA+PB+PC=EF+PF+PB=BE.
显然,当P为另一点时,PF+PB>BF,即PA+PB+PC>BF+EF=BE.
∴点P为BE与CD的交点时,PA+PB+PC最小.
此时,过E作EG⊥BC交BC的延长线于G,再过E作EH⊥AC交AC于H.
容易证出:EGCH是矩形,∴EG=HC,EH=GC.
而明显有:HC=AC/2=1/2,即:EG=1/2.
还容易算出:EH=(√3/2)AC=√3/2,即:GC=√3/2.
∴BE=√(EG^2+BG^2)=√[(1/2)^2+(GC+BC)^2]=√[1/4+(√3/2+1)^2]
=√(1/4+3/4+√3+1)=√(2+√3)=√[(3+2√3+1)/2]=√[(√3+1)^2/2]
=(√3+1)√(1/2)=(√6+√2)/2.
即:PA+PB+PC的最小值为(√6+√2)/2.
证明如下:
在PE上取一点F,使CP=CF.
∵△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,∴AC=BC,又AC=CE,∴BC=CE,
∴∠CBE=∠CEP.
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+60°=150°,∠CBE=(180°-∠BCE)/2=15°,
∵AD=BD,AC=BC,∴∠BCP=∠ACB/2=45°.
∴∠CPF=∠BCP+∠CBE=45°+15°=60°.而CE=CP,∴△CPF是正三角形,
∴PC=PF=FC,∠CFP=60°.
由∠CAE=60°,∠CPF=60°,∴∠CAE=∠CPF,∴A、E、C、P共圆,
∴∠APF=∠ACE=60°,∠CEF=∠CAP.
由∠CPF=60°,∠APF=60°,得:∠APC=120°.显然,∠EFC=180°-∠CFP=120°.
∴∠EFC=∠APC,结合作出的EC=AC,证得的∠CEF=∠CAP,得:△ECF≌△ACP,
∴EF=PA.
由EF=PA,PF=PC,得:PA+PB+PC=EF+PF+PB=BE.
显然,当P为另一点时,PF+PB>BF,即PA+PB+PC>BF+EF=BE.
∴点P为BE与CD的交点时,PA+PB+PC最小.
此时,过E作EG⊥BC交BC的延长线于G,再过E作EH⊥AC交AC于H.
容易证出:EGCH是矩形,∴EG=HC,EH=GC.
而明显有:HC=AC/2=1/2,即:EG=1/2.
还容易算出:EH=(√3/2)AC=√3/2,即:GC=√3/2.
∴BE=√(EG^2+BG^2)=√[(1/2)^2+(GC+BC)^2]=√[1/4+(√3/2+1)^2]
=√(1/4+3/4+√3+1)=√(2+√3)=√[(3+2√3+1)/2]=√[(√3+1)^2/2]
=(√3+1)√(1/2)=(√6+√2)/2.
即:PA+PB+PC的最小值为(√6+√2)/2.
举一反三
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