题目

已知四棱锥pabcd的底面是直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD ,且pa=ad=dc=1/2,ab=1,m是pb的中点
(1)求证：平面PAD⊥平面PCD
（2）求AC与PB所成的角
（3）求面MAC与面BMC所成二面角大小的余弦值
要用向量方法解答,不要复制的.

提问时间：2020-11-14

答案

（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,∴由三垂线定理得：CD⊥PD．
因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,∴CD⊥面PAD．又CD⊥面PCD,∴面PAD⊥面PCD．
过点B作BE∥CA,且BE=CA,则∠PBE是AC与PB所成的角． 连接AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,
所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD,得∠PEB=90°
在Rt△PEB中,BE=a2=3b2,PB=,∴．∴AC与PB所成的角为．（Ⅲ）作AN⊥CM,垂足为N,连接BN．在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM．在等腰三角形AMC中,AN·MC=,∴．∴AB=2,∴故所求的二面角为.