题目

如图13,在四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.（1）若∠B+∠C=120°,求∠AED的度数；（2）根据（1）的结论,请猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系,并加以证明.

提问时间：2020-11-06

答案

第一问：
∵四边形的内角和＝360°,又∠B＋∠C＝120°,∴∠BAD＋∠CDA＝240°.
∵2∠EAD＝∠BAD,2∠EDA＝∠CDA,∴2（∠EAD＋∠EDA）＝240°,
∴∠EAD＋∠EDA＝120°,而∠AED＋∠EAD＋∠EDA＝180°,∴∠AED＝180°－120°＝60°.
第二问：
由∠B＋∠C＝120°,∠AED＝60°,可猜想：∠B＋∠C＝2∠AED.
证明如下：
∵∠AED＋∠EAD＋∠EDA＝180°,∴2∠AED＋2∠EAD＋2∠EDA＝360°,
又2∠EAD＝∠BAD,2∠EDA＝∠CDA,∴∠BAD＋∠CDA＋2∠AED＝360°··········①
而∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CDA＝360°··········②
②－①,得：∠B＋∠C－2∠AED＝0,∴∠B＋∠C＝2∠AED.