题目

已知x²+y²+x-6y+3=0上有两点PQ,满足关于直线y=kx+4对称,且向量OP⊥向量OQ（o为坐标原点）求PQ

提问时间：2020-11-04

答案

x²+y²+x-6y+3=0是圆的方程 x²+y²+x-6y+3=0化简得x²+x+1/4+y²-6y+9=6+1/4=25/4
即(x+1/2)² +(y-3)² =(5/2)² 圆心为（-1/2,3）,半径为5/2
因为圆上有两点PQ,满足关于直线y=kx+4对称,所以直线y=kx+4为直线PQ的中垂线,直线PQ的中垂线必然通过圆心.即点（-1/2,3）在直线y=kx+4上
3=（-1/2）k+4 ,k=2
直线y=kx+4为直线PQ的中垂线,直线y=kx+4斜率k=2所以直线PQ斜率为-1/2,设为y=(-1/2)(x-b)
联立{y=(-1/2)(x-b),x²+y²+x-6y+3=0
得x²+x+1/4+[(-1/2)(x-b)-3]² =25/4
化简5x²-(6-2b)x+b²-2b+12=0
然后用韦达定理得出x1x2=(b²-2b+12)/5,x1+x2=(6-2b) /5
因为向量OP⊥向量OQ,若设向量P=(x1,y1),向量Q=(x2,y2),则有x1x2+y1y2=0
即x1x2+(-1/2)(x1-b)(-1/2)(x2-b)=0
(5/4)x1x2+(b/2)(x1+x2)+b²/4=0
代入x1x2=(b²-2b+12)/5,x1+x2=(6-2b) /5
得一个只与b有关的方程.(b²-2b+12)/4+(3b-b²)/5+b²/4=0
化简得3b²-b+30=0
解出b的值.b=10/3或b=-3
把b的值代入PQ：y=(-1/2)(x-b).即求出PQ方程.