题目

画出以A（3，-1）、B（-1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x-2y的最大值和最小值．

提问时间：2020-11-03

答案

如图，连接点A、B、C，
则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域．
∵直线AB的方程为x+2y-1=0，
BC及CA的直线方程分别为x-y+2=0，2x+y-5=0．
在△ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5得：
x+2y-1＞0，x-y+2＞0，2x+y-5＜0．
因此所求区域的不等式组为

x+2y−1≥0 x−y+2≥0 2x+y−5≤0

作平行于直线3x-2y=0的直线系3x-2y=t（t为参数），即平移直线y=

3

2

x，
观察图形可知：
当直线y=

3

2

x-

1

2

t过A（3，-1）时，纵截距-

1

2

t最小．
此时t最大，t_max=3×3-2×（-1）=11；
当直线y=

3

2

x-

1

2

t经过点B（-1，1）时，纵截距-

1

2

t最大，
此时t有最小值为t_min=3×（-1）-2×1=-5．
因此，函数z=3x-2y在约束条件下的最大值为11，最小值为-5．

本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的可行域，给出对应的约束条件，处理的方法遵循“线定界，点定域”，再使用角点法，求出目标函数的最大值．

本题考点：简单线性规划的应用．

考点点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．