题目

若sinθ－cosθ＝7/5,θ∈(0,∏),则tanθ＝?

提问时间：2020-11-03

答案

因为sinθ－cosθ＝7/5＞1,这种情况只能是sinθ＞0,cosθ＜0.(因为若同时为正,sinθ最多取到1,而cosθ最少取到0,故sinθ－cosθ最大也只能是1; 当然同时为负的道理是一样的).结合θ∈(0,π) 知θ∈(π/2,π).
对sinθ－cosθ＝7/5 两边平方得：1-sin(2θ)=49/25,即sin(2θ)=-24/25,故(sinθ+cosθ)^2=1+sin(2θ)=1/25,于是得到：① sinθ+cosθ=1/5,② sinθ+cosθ=-1/5.由①结合sinθ－cosθ＝7/5 得：sinθ=4/5,cosθ=-3/5.由②结合sinθ－cosθ＝7/5 得：sinθ=3/5,cosθ=-4/5.故tanθ=-4/3或-3/4.
注：经过仔细验证,上述两个解都是满足条件的解,因为由sinθ以及cosθ的值知,两组解的θ都在(π/2,π),当然也在(0,π),而且满足sinθ－cosθ＝7/5.