题目

已知函数f（x）=log₂（a-2^x）+x-2，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，-4]∪[4，+∞）
B. [1，+∞）
C. [2，+∞）
D. [4，+∞）

提问时间：2020-11-02

答案

若f（x）存在零点，
则方程log₂（a-2^x）=2-x有根
即2^2-x=a-2^x有根，
令2^x=t（t＞0）
则原方程等价于

4

t

=a-t有正根
即t²-at+4=0有正根，
根据根与系数的关系t₁t₂=4＞0，
即若方程有正根，必有两正根，
故有

t1+t2＝a＞0 a2−16≥0

∴a≥4．
故选D

根据函数零点与对应方程根之间的关系，我们可将f（x）存在零点转化为方程log₂（a-2^x）=2-x有根，结合对数方程和指数方程的解法，我们可将他转化为一个二次方程根的存在性总是，再根据二次方程根的个数与△的关系及韦达定理，我们易构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．

本题考点：函数零点的判定定理．

考点点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中根据指数方程和对数方程的解法，将函数对应的方程转化为一个二次方程是解答的关键．