题目

已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：

（1）MN∥平面PAD；           
（2）平面PMC⊥平面PDC．

提问时间：2020-11-02

答案

证明：（1）设PD的中点为Q，连接AQ、NQ，
由N为PC的中点知QN∥DC且QN=

1

2

DC，
又ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=

1

2

AB，
又M是AB的中点，∴QN∥AM，QN=AM，
∴AMNQ是平行四边形，
∴MN∥AQ，而AQ⊂平面PAD，NM⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AQ，∵PD∩CD=D，∴AQ⊥平面PCD，
∵MN∥AQ，∴MN⊥平面PCD，
又MN⊂平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．