题目

用数学归纳法证明，若f（n）=1+

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提问时间：2020-10-30

答案

（1）当n=2时，左边=2+f（1）=2+1=3，
右边=2•f（2）=2×（1+

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2

）=3，左边=右边，等式成立．ks5u
（2）假设n=k时等式成立，即
k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）．
由已知条件可得f（k+1）=f（k）+

1

k+1

，
右边=（k+1）•f（k+1）（先写出右边，便于左边对照变形）．
当n=k+1时，左边=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）
=[k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）]+1+f（k）（凑成归纳假设）
=kf（k）+1+f（k）（利用假设）
=（k+1）•f（k）+1
=（k+1）•[f（k+1）-

1

k+1

]+1
=（k+1）•f（k+1）=右边．
∴当n=k+1时，等式也成立．
由（1）（2）可知，对一切n≥2的正整数等式都成立．