题目
已知函数f(x)=ax+bx-1满足以下两个条件:①函数f(x)的值域为[-2,+∞];②对于x∈R,恒有f(-1+x)=f(-1-x)
(1)求f(x)的解析式
(2)设F(x)=f(-x)-kf(x),若F(x)在[-2,2]上是减函数,求实数k的取值范围.
(1)求f(x)的解析式
(2)设F(x)=f(-x)-kf(x),若F(x)在[-2,2]上是减函数,求实数k的取值范围.
提问时间:2020-10-30
答案
函数应该是f(x)=ax²+bx-1
(1),由f(x)的值域是【-2,+∞)可知,a>0且f(x)的最小值为-2.
由对x∈R,恒有f(-1-x)=f(-1+x)可知,x=-1是二次函数f(x)的对称轴.
∴ -b/2a=-1
∴ b=2a
同时,由x=-1是二次函数f(x)的对称轴,且a>0(即二次函数图象开口向上),则f(-1)是二次函数的最小值
∴ f(-1)=a-b-1=a-2a-1=-a-1=-2
∴ a=1
∴ b=2a=2
所以,f(x)的解析式为f(x)=x²+2x-1
(2),F(x)=f(-x)-kf(x)=(x²-2x-1)-k(x²+2x-1)=(1-k)x²-(2+2k)x+(k-1)
以下将k的取值分情况讨论:
1° k=1,则F(x)是一次函数,F(x)=-4x
显然,该函数在x∈【-2,2】区间内为减函数.
∴ k=1符合题设要求.
2° k>1,则F(x)图象开口向下
那么为使F(x)在x∈【-2,2】区间内为减函数,必须满足:① F(-2)>F(2);② x=-2与x=2都在二次函数对称轴右侧
先解①,得4(1-k)+4+4k+k-1>4(1-k)-4-4k+k-1,化简,得8+8k>0
∴k>-1
由②可知,二次函数对称轴-【-(2+2k)】/【2*(1-k)】≤-2
化简,得(1+k)/(1-k)≤-2
由k>1,得1-k<0
∴ 1+k≥-2(1-k)
解不等式,得k≤3
取三者的交集,得k的取值范围为k∈(1,3】
3° k<1,则F(x)图象开口向上
那么为使F(x)在x∈【-2,2】区间内为减函数,必须满足:① F(-2)>F(2);② x=-2与x=2都在二次函数对称轴左侧
先解①,得4(1-k)+4+4k+k-1>4(1-k)-4-4k+k-1,化简,得8+8k>0
∴k>-1
由②可知,二次函数对称轴-【-(2+2k)】/【2*(1-k)】≥2
化简,得(1+k)/(1-k)≥2
由k<1,得1-k>0
∴ 1+k≥2(1-k)
解不等式,得k≥1/3
取三者的交集,得k的取值范围为k∈【1/3,1)
取以上三种情况的并集,得k∈【1/3,3】
所以,当F(x)在x∈【-2,2】区间为减函数时,k的取值范围是k∈【1/3,3】
整个题考点就在于二次函数的对称轴.
第二问比较复杂,如有不懂之处,欢迎追问.
(1),由f(x)的值域是【-2,+∞)可知,a>0且f(x)的最小值为-2.
由对x∈R,恒有f(-1-x)=f(-1+x)可知,x=-1是二次函数f(x)的对称轴.
∴ -b/2a=-1
∴ b=2a
同时,由x=-1是二次函数f(x)的对称轴,且a>0(即二次函数图象开口向上),则f(-1)是二次函数的最小值
∴ f(-1)=a-b-1=a-2a-1=-a-1=-2
∴ a=1
∴ b=2a=2
所以,f(x)的解析式为f(x)=x²+2x-1
(2),F(x)=f(-x)-kf(x)=(x²-2x-1)-k(x²+2x-1)=(1-k)x²-(2+2k)x+(k-1)
以下将k的取值分情况讨论:
1° k=1,则F(x)是一次函数,F(x)=-4x
显然,该函数在x∈【-2,2】区间内为减函数.
∴ k=1符合题设要求.
2° k>1,则F(x)图象开口向下
那么为使F(x)在x∈【-2,2】区间内为减函数,必须满足:① F(-2)>F(2);② x=-2与x=2都在二次函数对称轴右侧
先解①,得4(1-k)+4+4k+k-1>4(1-k)-4-4k+k-1,化简,得8+8k>0
∴k>-1
由②可知,二次函数对称轴-【-(2+2k)】/【2*(1-k)】≤-2
化简,得(1+k)/(1-k)≤-2
由k>1,得1-k<0
∴ 1+k≥-2(1-k)
解不等式,得k≤3
取三者的交集,得k的取值范围为k∈(1,3】
3° k<1,则F(x)图象开口向上
那么为使F(x)在x∈【-2,2】区间内为减函数,必须满足:① F(-2)>F(2);② x=-2与x=2都在二次函数对称轴左侧
先解①,得4(1-k)+4+4k+k-1>4(1-k)-4-4k+k-1,化简,得8+8k>0
∴k>-1
由②可知,二次函数对称轴-【-(2+2k)】/【2*(1-k)】≥2
化简,得(1+k)/(1-k)≥2
由k<1,得1-k>0
∴ 1+k≥2(1-k)
解不等式,得k≥1/3
取三者的交集,得k的取值范围为k∈【1/3,1)
取以上三种情况的并集,得k∈【1/3,3】
所以,当F(x)在x∈【-2,2】区间为减函数时,k的取值范围是k∈【1/3,3】
整个题考点就在于二次函数的对称轴.
第二问比较复杂,如有不懂之处,欢迎追问.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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