题目

设G为△ABC的重心,且AG=6,BG=8,CG=10,则△ABC的面积为

提问时间：2020-10-30

答案

因为G是三角形ABC的重心,
所以 GA+GB+GC=0 （向量）,
由 (-GA)^2=(GB+GC)^2=GB^2+GC^2+2GB*GC 得
36=64+100+2GB*GC ,
解得 GB*GC=-64 ,
同理可得 GA*GB=0 ,GA*GC=-36 ,
因此 cos∠BGC=GB*GC/(|GB|*|GC|)=-4/5 ,
同理 cos∠AGB=0 ,cos∠CGA=-3/5 ,
所以 sin∠BGC=3/5 ,sin∠AGB=1 ,sin∠CGA=4/5 ,
因此,SABC=SAGB+SBGC+SCGA
=1/2*|GA|*|GB|*sin∠AGB+1/2*|GB|*|GC|*sin∠BGC+1/2*|GC|*|GA|*sin∠CGA
=1/2*6*8*1+1/2*8*10*3/5+1/2*6*10*4/5
=72 .
（事实上,三条中线的长分别为 9,12,15,而一个三角形与它的三条中线构成的三角形相似,且面积比为 4：3 ）.