题目

已知实数列｛an｝是等比数列,其中a7=1且a4、a5+1、a6成等差数列 （1）求数列｛an｝的
已知实数列｛an｝是等比数列,其中a7=1且a4、a5+1、a6成等差数列
（1）求数列｛an｝的通项公式
（2）数列｛an｝的前n项和记为sn证明sn

提问时间：2020-10-30

答案

设公比为q,则q≠0
a4、a5+1、a6成等差数列,则
2(a5+1)=a4+a6
2(a7/q^2 +1)=a7/q^3 +a7/q
a7=1代入,整理,得
2q^3-q^2+2q-1=0
q^2(2q-1)+(2q-1)=0
(2q-1)(q^2 +1)=0
q^2 +1恒>0,因此只有2q-1=0
q=1/2
an=a1q^(n-1)=a7q^(n-7)=1×(1/2)^(n-7)=1/2^(n-7)
数列{an}的通项公式为an=1/2^(n-7)
a1=1/2^(1-7)=64
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=64×(1-1/2^n)/(1-1/2)
=128×(1- 1/2^n)
=128- 1/2^(n-7)
1/2^(n-7)>0 128- 1/2^(n-7)