题目

证明(ln2)/2^4+(ln3)/3^4+...+(lnn)/n^4<1/(2e)

提问时间：2020-10-27

答案

设f(x) = 2elnx -x^2; f'(x) = 2e/x -2x; 当x =√e时,f'(x) =0 ,即f(√e) =0取得最大值, 因此2elnx或者: lnx/x^2<1/(2e);
因此ln(n)/n^2<1/(2e);
下面证本题的命题：
ln(n)/n^4 = ln(n)/n^2*1/n^2= ln(n)/n^2(1/(n-1)-1/n)<1/(2e)(1/(n-1)-1/n)
因此：ln2/(2^4) + ln3/(3^4) +...+lnn/(n^4)<1/(2e)(1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n) = 1/(2e)(1-1/n)<1/(2e)
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