题目

直线y=-

1

4

x+b是函数f（x）=

1

x

的切线，则实数b=______．

提问时间：2020-10-25

答案

由于函数f（x）=

1

x

的导数y′＝−

1

x2

，若设直线y=-

1

4

x+b与函数f（x）=

1

x

相切于点P（m，n），
则

− 1 4 ＝− 1 m2 n＝ 1 m   n＝− 1 4 •m+b

解之得m=2，n=

1

2

，b=1或m=-2，n=-

1

2

，b=-1
综上所述，得b=±1
故答案为：1或-1

设切点为P（m，n），求出函数f（x）=

1

x

的导数y′＝−

1

x2

，得切线斜率为-

1

4

＝−

1

m2

，
再根据切点P既在切线y=-

1

4

x+b上又在函数f（x）=

1

x

的图象上，
列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题．