题目
已知函数f(x)=ln(1+x)-x+
x2(k≥0).
(Ⅰ)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
k |
2 |
(Ⅰ)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
提问时间:2020-10-21
答案
(I)当K=2时,f(x)=ln(1+x)−x+x2,f′(x)=
−1+2x
由于f(1)=ln(2),f′(1)=
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y−ln2=
(x−1).即3x-2y+2ln2-3=0
(II)f'(x)=
-1+kx(x>-1)
当k=0时,f′(x)=−
因此在区间(-1,0)上,f'(x)>0;在区间(0,+∞)上,f'(x)<0;
所以f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞);
当0<k<1时,f′(x)=
=0,得x1=0,x2=
>0;
因此,在区间(-1,0)和(
,+∞)上,f'(x)>0;在区间(0,
)上,f'(x)<0;
即函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(
,+∞),单调递减区间为(0,
);
当k=1时,f′(x)=
.f(x)的递增区间为(-1,+∞)
当k>1时,由f′(x)=
=0,得x1=0,x2=
∈(−1,0);
因此,在区间(−1,
)和(0,+∞)上,f'(x)>0,在区间(
,0)上,f'(x)<0;
即函数f(x)的单调递增区间为(−1,
)和(0,+∞),单调递减区间为(
,0).
1 |
1+x |
由于f(1)=ln(2),f′(1)=
3 |
2 |
y−ln2=
3 |
2 |
(II)f'(x)=
1 |
1+x |
当k=0时,f′(x)=−
x |
1+x |
因此在区间(-1,0)上,f'(x)>0;在区间(0,+∞)上,f'(x)<0;
所以f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞);
当0<k<1时,f′(x)=
x(kx+k−1) |
1+x |
1−k |
k |
因此,在区间(-1,0)和(
1−k |
k |
1−k |
k |
即函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(
1−k |
k |
1−k |
k |
当k=1时,f′(x)=
x2 |
1+x |
当k>1时,由f′(x)=
x(kx+k−1) |
1+x |
1−k |
k |
因此,在区间(−1,
1−k |
k |
1−k |
k |
即函数f(x)的单调递增区间为(−1,
1−k |
k |
1−k |
k |
(I)根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数,从而求出切线的斜率,然后求出切点坐标,再用点斜式写出直线方程,最后化简成一般式即可;
(II)先求出导函数f'(x),讨论k=0,0<k<1,k=1,k>1四种情形,在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0即可.
(II)先求出导函数f'(x),讨论k=0,0<k<1,k=1,k>1四种情形,在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0即可.
利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想,属于基础题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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