题目

极坐标方程的弧长公式是怎么证明哒?
我已经知道的一种方法是,转成x=r(θ)cos(θ),y=r(θ)sin(θ)的参数方程来证明
有没有直接点的方法啊?
dl=r(θ)dθ错误的根本原因在哪里?是不是和曲率半径有关啊?如果用曲率半径来代替r(θ)是否正确呢?（尽管这样很繁）
要告诉我到哪本书上找的,我这里只有同济的高数,和一本巴朗的AP微积分啊.
另外,我认为这么小的字显示希腊字母是很不美观的,所以除了θ,pi等,其他的请不要用φ等字母.

提问时间：2020-10-21

答案

dl=r(θ)dθ错误的根本原因是dl-r(θ)dθ得到的不是dθ的高阶无穷小,而是同阶无穷小,像图中那样把极坐标和直角坐标作个类比,能看出来直角坐标中的曲线积分之所以不能直接对dx进行积分是因为dx和dl相差很多,同样地,dl和r(θ)dθ相差的也很多